METODO DE EULER:

 

El método de Euler rara vez se utiliza en la práctica para obtener la solución aproximada de un problema de valor inicial, pero se estudia por su simplicidad en la derivación de la fórmula y de la determinación del error. Los métodos de orden superior utilizan las mismas técnicas, pero el álgebra que requieren es mucho más complicada.

Con el método de Euler se obtiene una solución aproximada de un problema de valor inicial como el que se muestra en la ecuación (1), en un conjunto finito de puntos.

 

 

(1)

Para empezar, se determina la malla {t0, t1, ... , tN} de paso h, donde t0 = a y  tN = b. En estos puntos es donde se va a obtener la aproximación de la solución.

Para determinar la fórmula del método, se parte de un desarrollo de Taylor de la función solución y(t), alrededor de un punto de la malla, ti, suponiendo que la función y(t) posee derivadas primera y segunda continuas en (a, b):

 

 

(2)

Evaluando esta expresión en t = ti+1, para cualquier i, se tiene:

 

 

(3)

Pero como ti+1- ti = h, resulta:

 

 

(4)

Como y(t) satisface la ecuación diferencial, en particular es y'(ti) = f(ti, yi), entonces reemplazando en la fórmula (4) resulta:

 

 

(5)

Si se elimina de la fórmula anterior el término del error, se puede escribir:

 

 

(6)

Resultando así la fórmula del método de Euler para aproximar la solución en un punto de la malla, teniendo una aproximación en el punto inmediato anterior. Como la condición en el punto a del problema de valor inicial da el valor inicial y(t0)= a, se tiene entonces la solución aproximada en todos los puntos de la malla. Si se llaman yi = y(ti), se tiene entonces la fórmula de Euler dada en la fórmula (7):

 

 

(7)

Implementación del método

A continuación se presenta el algoritmo del método de Euler en pseudocódigo, para resolver un problema de valor inicial del tipo (1). Éste es un algoritmo para una ecuación particular, si se quiere generalizar para una ecuación cualquiera, con f(t, y) arbitraria, se debe ingresar también como argumento la ley de f. Esto se puede implementar en cualquier lenguaje de programación, o en particular, en programas simbólicos o numéricos que permitan programar, como Maple, Mathematica, Scilab o Matlab.

 

Con los valores obtenidos mediante este algoritmo se puede lograr un gráfico discreto de la solución aproximada, o también se puede aplicar un método de interpolación para obtener una gráfica continua en el intervalo. La lista de valores obtenida con el algoritmo se puede utilizar para comparar resultados, o calcular errores relativos y absolutos respecto de la solución exacta, si se conoce.

Ejemplo

Consideremos el siguiente problema de valor inicial.

 

La fórmula de Euler para este problema, tomando N puntos en el intervalo [1, 2] (sin contar el punto de partida a = 1), resulta:

 

 

(8)

 

 

Aplicamos el método de Euler para un paso h = 0,2.

 

Teniendo en cuenta que h = 0,2, la cantidad de puntos en el intervalo resulta ser N = 5, y entonces la tabla de valores obtenida con la fórmula dada en (8) resulta:

 

 

i

t

      y

0

1,00

2,0000

1

1,20

2,4000

2

1,40

2,9760

3

1,60

3,8093

4

1,80

5,0282

5

2,00

6,8384

Ahora, aplicamos la fórmula el método de Euler con N = 20 y N = 50. Representamos gráficamente los puntos obtenidos, comparándolos con la solución exacta, dada por la función

 

 

 

Se ve en los gráficos obtenidos, que a medida que nos alejamos del valor inicial, la solución aproximada pierde precisión (se aleja de la solución exacta), para el paso h = 1/20. Cuando se achica el paso, la solución mejora (h = 1/50).

Análisis del error

Al deducir la fórmula de Euler para aproximar la solución de un PVI tipo (1), al pasar de la expresión (5) a la (6), se descartó en la expresión el error, dado por

 

 

(9)

De esta fórmula surge que el error local de truncamiento en el método es O(h2).

Teniendo en cuenta que, por ser y'' continua,

 

 

(10)

y también que h = (tN – t0)/N, se tiene que después de N pasos, el error global acumulado es:

 

 

(11)

Por lo tanto, el error global en el método de Euler es O(h).

El procedimiento anterior puede aplicarse a todos los métodos estudiados. El orden del error global resulta siempre uno menos que el orden del error local de truncamiento (el error del cálculo de yi+1 para un solo paso).

En el siguiente teorema se deriva una cota de error para el método de Euler. Ciertas condiciones necesitan verificarse para la función que interviene en la ecuación diferencial. Algunas son condiciones para que el PVI tenga solución única, otras son específicas para obtener la cota.

Teorema:Sea el conjunto D = {(t, y) | a ≤ t ≤ b,-∞ ≤ y ≤ ∞} y f(t, y) continua en D, tal que satisface una condición de Lipschitz en D en la variable y.Sea y(t) la solución única del PVI y' = f(t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α, y supongamos que existe una constante M tal que |y'' (t)| ≤ M  " t Î [a,b].Sean w0, w1, …, wN las aproximaciones generadas con el método de Euler para N entero positivo. Entonces, para cada i = 0, 1, …, N, se cumple:

 

 

(12)

Observación: Este teorema tiene como punto débil el requisito de conocer una cota de la derivada segunda de la solución, ya que en general, la solución exacta no se conoce. Algunas veces, es posible obtener una cota del error de la derivada segunda sin conocer explícitamente la función solución. Por ejemplo, si existen las derivadas parciales de la función f(t, y), aplicando la regla de la cadena, se tiene que:

 

 

(13)

Por lo tanto, si se conocen cotas de f y las derivadas parciales de f, se puede tener una cota de y''.

La importancia principal de la fórmula de cota de error del método de Euler dada en (12) consiste en que dicha cota depende linealmente del tamaño del paso h. Esto implica que, al disminuir el tamaño del paso, las aproximaciones deberán ser más precisas.Pero en el resultado del teorema anterior, no se tiene en cuenta el efecto que el error de redondeo ejerce sobre el tamaño del paso. A medida que h se hace más pequeño, aumenta la cantidad de cálculos, y se puede predecir un mayor error de redondeo. Entonces, para determinar una cota del error, se debe tener en cuenta el error de redondeo, y se puede establecer el siguiente teorema:

Teorema:Considere el PVI y' = f(t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α,  con f continua y tal que satisface una condición de Lipschitz en la variable y con constante L, en el conjunto D = {(t, y) | a ≤ t ≤ b,-∞ ≤ y ≤ ∞}.Sea y(t) la solución única del PVI, y supongamos que existe una constante M tal que |y'' (t)| ≤ M " t Î [a,b].Sean w0, w1, …, wN las aproximaciones generadas con el método de Euler para N entero positivo, donde cada una tiene un error de redondeo asociado δi.Si |δi| ≤ δ para cada i de 0 a N, entonces, para cada i = 0, 1, …, N, se cumple:

 

 

(14)

Se ve claramente en la fórmula dada en (14) que cuando el valor de h se hace muy pequeño, la cota del error puede aumentar, ya que h aparece en el denominador de un cociente. La cota de error aquí obtenida, ya no es lineal en h.

Si se considera la expresión E(h) = h M/2 + d/h, tenemos que tiende a infinito cuando h tiende a cero. Con esto, se ve que cuando h tiende a cero, el error aumenta. Podemos establecer una cota inferior para h, de manera de evitar este problema. Si calculamos la derivada de E(h),  tenemos que E'(h) = M/2 - d/h2, por lo tanto, se anula en el valor. En este valor de h, E'(h) pasa de ser negativa a positiva, con lo que se puede concluir que en dicho valor E(h) presenta un mínimo.Esto indica que éste es el valor mínimo que se puede tomar para h. En general, el valor de d es lo bastante pequeño como para que esta cota más baja no influya en la aplicación del método de Euler.