Sean x,y el conjunto de datos dados debajo. Queremos estimar las sucesivas derivadas en el punto a = 0.3 utilizando la funci´on h_deriv citada anteriormente, lo que significa calcular las sucesivas derivadas del polinomio interpolador asociado a x,y; para ello, ejecutamos:

x=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ]; y=[0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053]; a=0.3; derivadas=h_deriv(x,y,a)

El resultado, en orden de derivada creciente y empezando por f 1)(0.3), es 0.6533 -0.9710 1.0406 -1.3750 1.8750 

La definicion de derivada de una funci´on f viene dada por la expresi´on f 0 (x) = l´ım h→0 f(x + h) − f(x) h (H.1) con lo cual podemos decir que f(x + h) − f(x) h es una aproximaci´on de f con tal de que h sea suficientemente pequeño.

De hecho usando el desarrollo de Taylor para la funci´on f en el punto x podemos poner 73 74 LECCION H. DIFERENCIACION E INTEGRACION NUMERICA ´ f(x + h) = f(x) + hf0 (x) + O(h) (H.2) lo que significa que el error cometido al aproximar f 0 (x) por el valor f(x + h) − f(x) h es de orden 1 respecto de h.

Utilizando Taylor tambi´en pod´ıamos haber puesto f(x+h) = f(x)+hf0 (x)+ h 2 2! f 00(x)+O(h 3 )f(x−h) = f(x)−hf0 (x)+ h 2 2! f 00(x)+O(h 3 ) (H.3) y, por tanto, f 0 (x) = f(x + h) − f(x − h) 2h +O(h 3 ).

Y procediendo de forma an´aloga se puede obtener las siguientes formulas para las derivadas primera y segunda.