Bisección:

 

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable, también conocido como Método de Intervalo Medio.1 Se basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el cual establece que toda función continua f en unintervalo cerrado [a,b] toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b). Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a) y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor intermedio entre f(j) y f(e), por lo que con certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(x)=0.

El método consiste en lo siguiente:

• Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x) en el intervalo [a,b]

• A continuación se verifica que Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada

• En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene signo opuesto con f(a) o con f(b) Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo

• Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada.

 

 

 

El método de bisección consiste en dividir el intervalo en 2 subintervalos de igual magnitud, reteniendo el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar al menos una raíz o cero, y repetir el proceso varias veces.

Por ejemplo, suponga que f tiene un cero en el intervalo [a,b].

Primero se calcula el punto medio del intervalo ; después se averigua sí f(a)f(c)<0. Si lo es, entonces f tiene un cero en [a,c].

A continuación se renombra a c como b y se comienza una vez más con el nuevo intervalo [a,b], cuya longitud es igual a la mitad del intervalo original.

Si f(a)f(c)>0 , entonces f(c)f(b)<0 y en este caso se renombra a c como a.

En ambos casos se ha generado un nuevo intervalo que contiene un cero de f, y el proceso puede repetirse.

Ejemplo.

La función f(x) = xsenx – 1 tiene un cero en el intervalo [0,2], porque f(0) = -1 yf(2)=0.818595.

Si se denota con entonces c1 = 1. Ahoraf(c1) = f(1) = -0.158529, luego la función tiene un cero en el intervalo [c1, b1] = [1,2] ; se renombra a2=c1 y b2=b1 .

El nuevo punto medio es  y f(c2) = f(1.5) = 0.496242, el cero esta en el intervalo [a2, c2] y se renombra como [a3,b3].

En la tabla de abajo se muestran las primeras nueve iteraciones del método de bisección para f(x)= xsenx –1 con a=0 b=2.