Inversión de Matrices:

 

Es bien conocido que en diversas aplicaciones de contabilidad nacional, así como en otras áreas de la economía, es usual encontrarse con la inversión de matrices. Ejemplos en contabilidad nacional son los modelos de multiplicadores insumo-producto de Leontief, y su extensión a matrices de contabilidad social (Pyatt, 1988). Es usual utilizar algún tipo de software para encontrar la inversa de una matriz, en caso de existir, así que en este documento se presentara un breve repaso del proceso de inversión de matrices y una ilustración de la solución numérica de este tipo de problemas. Para empezar hay que recordar cómo se define la inversa de una matriz: se dice que una matriz cuadrada, A, tamaño n, es invertible (tiene inversa) si existe una matriz B de tamaño n, tal que el producto matricial por la izquierda y por la derecha es la matriz identidad.

 

Esto es: B es la inversa de A si y solo si BA = AB = In. Es fácil demostrar que la inversa de una matriz es ´unica.1 Si una matriz es invertible, se dice que es no singular, de lo contrario la matriz es singular. Para verificar si una matriz es invertible se puede utilizar el siguiente resultado:

 

 

Una matriz cuadrada A, de tamaño n, es singular si su determinante es igual a cero. Esto es, A es singular si y solo si |A| = 0. De manera análoga, una matriz es no singular si |A| 6= 0. Ejemplo 1 La matriz identidad de tamaño n (In) es invertible. Para verificar esto se puede utilizar tanto la definición o el resultado 1. En el primer caso, basta encontrar una matriz B que cumpla con la propiedad de ser inverso multiplicativo a izquierda y a derecha: BIn = InB = In, es decir, una matriz que al multiplicarse, a derecha y a izquierda, por In produzca la misma matriz In. Es fácil ver que In es la (única) matriz que cumple con esta propiedad: InIn = In. Así que la matriz inversa de In, I −1 n , es ella misma. Ahora, utilizando el segundo resultado se puede ver que la matriz identidad es no singular, es decir, es invertible. Para esto hay que mostrar que el determinante de la matriz identidad es distinto de cero. El proceso se agiliza si se recuerda que el determinante de una matriz diagonal es el producto de todos los elementos sobre la diagonal.2 así, en el caso de la matriz identidad, |In| = Q i=j Iij = 1n = 1 6= 0. Así que la matriz identidad es invertible.

 

El problema de encontrar la inversa de una matriz se puede escribir así:

 

Se busca una matriz B tal que A · B = In. En el caso más simple, si la dimensión de la matriz es uno (i.e. A es un escalar), el problema se reduce a la solución de una ecuación con una incógnita: a·x = 1, de donde, a −1 = 1/a = x. En el caso de una matriz de tamaño dos, el problema de encontrar la matriz inversa es equivalente a resolver un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas:  a11 a12 a21 a22  ·  x1 x2 x3 x4  =  1 0 0 1  (1) O reescribiendo (1) como un sistema de ecuaciones, a11x1 + a12x3 =1 (2) a11x2 + a12x4 =0 (3) a21x1 + a22x3 =0 (4) a21x2 + a22x4 =1 (5) Lo anterior se puede generalizar a problemas de cualquier dimensión. El primer método utiliza esta analogía entre la inversa de una matriz y la solución de un sistema lineal de ecuaciones. El método Gauss-Jordan (GJ, de ahora en adelante) hace uso de la siguiente propiedad de las matrices inversibles.