La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:

(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)

 Se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.

La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se tomen tres.

 

INTERPOLACIÓN LINEAL:

 

Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal…

 

                                                                                      

 

Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0<x<x1. 

 Obtenemos la fórmula de la interpolación lineal.

                                                                                      

 

LA INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA:

 

Cuando el polinomio que conviene es de 2º grado la interpolación recibe el nombre de cuadrática. El polinomio interpolador es único, luego como se encuentre da igual., sin embargo, a veces los cálculos son muy laboriosos y es preferible utilizar un método que otro. A la vista de los datos se decide.

En el ejemplo 1 se da el método de resolver el sistema para encontrar los valores que determinan a la función cuadrática (a, b y c)

También podemos utilizar la expresión del polinomio interpolador así:

y= a + b(x-x0) + c(x-x0)(x-x1), con lo que la búsqueda de los coeficientes es muy sencilla.

Lagrange (1736-1813) dio una manera simplificada de calcular los polinomios interpoladores de grado n Para el caso de un polinomio de 2º grado que pasa por los puntos (x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2):

                               

 

Que es la fórmula de Lagrange para n=2.

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método mas común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.

Recuerdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden es:

 

                                                                             

                                                                                    

Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.

 

 

Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En esta unidad se estudian dos técnicas alternativas que están bien condicionadas para implementarse en una computadora. Estos son los polinomios de Newton y deLagrange.