Jacobi:

 

El método de Jacobi consiste en realizar una secuencia de transformaciones ortogonales, cada transformación se denomina “rotación de Jacobi”; y corresponde a una rotación cuyo objetivo es eliminar a un elemento de la matriz. Se va rotando sucesivamente la matriz hasta que el error es pequeño para ser considerada una matriz diagonal. Un concepto fundamental de este método es que, al rotar la matriz para eliminar un elemento que ya sea cero, se modifican varios elementos situados en la fila y la columna del elemento que se rota, que podían valer cero y hasta haber rotado con anterioridad.

 

Cada vez que se rota un elemento, todos los elementos que se insertan son función de la cantidad que se elimina ponderada por una función trigonométrica, por lo que el valor absoluto de los elementos distintos de la diagonal se reduce hasta que se considera que son cero. La composición de las rotaciones genera autovectores, en donde los elementos de la diagonal principal corresponden a los autovalores. Los métodos directos e indirectos en general tienen con los redondeos, truncamientos y aproximaciones a la solución real.

 

Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar este inconveniente, ya que se acercan más a la solución real a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación depende de la cantidad de iteraciones que se efectúa. El planteamiento empieza en suponer un valor inicial y enseguida se usar un método sistemático para obtener una estimación más refinada de la solución. El Método de Jacobi es uno de los métodos iterativos más conocidos. Supóngase que se tiene un sistema (3x3) de ecuaciones. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se resuelve para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3.

 

El Método de Jacobi es uno de los métodos iterativos más conocidos.

Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera parax3, para obtener: